Quando trabalhamos com vetores em três dimensões, é importante distinguir duas coisas:

• quanto um vetor mede;
• para onde ele aponta.

Um vetor pode carregar essas duas informações ao mesmo tempo. O vetor unitário é uma forma de separar a segunda delas: ele preserva a direção e elimina a informação sobre o comprimento.

O que é um vetor unitário?

Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento, ou módulo, é exatamente igual a 1:

\lvert{\hat{\mathbf{u}}}\rvert = 1

Por exemplo:

\hat{\mathbf{x}} = (1,0,0)

é um vetor descrito em (x, y, z) com 1 para x, e com 0 para y e z. Ele é um vetor unitário que aponta na mesma direção que o eixo X.

O mesmo vale para:

\hat{\mathbf{y}} = (0,1,0)

\hat{\mathbf{z}} = (0,0,1)

O que caracteriza um vetor unitário não é sua direção, mas seu comprimento, que é igual a 1. Nos três exemplos acima, repare que só um eixo por vez participou da construção do vetor, ou seja, nesses casos o valor 1 é a posição naquele eixo e é, também, o comprimento do vetor.

Direção e comprimento são coisas diferentes

Considere o vetor:

\mathbf{v} = (1,1,0)

Ele aponta para uma direção que forma um ângulo de 45∘ com o eixo X no plano XY.

Mas ele não é unitário.

Se um dos lados mede 1 (projetado em x), e o outro lado, também, mede 1 (projetado em y), então o vetor compreende a hipotenusa do triangulo formado por esses dois lados. Ou seja, espera-se que a distância euclidiana entre a origem (0, 0, 0) e o destino (1, 1, 0) seja ligeiramente maior que 1. Vamos conferir abaixo (incluindo todos: x=1, y=1 e z=0).

Seu comprimento é:

|\mathbf{v}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}

ou aproximadamente:

|\mathbf{v}| \approx 1,414

Portanto, (1, 1, 0) aponta para 45∘, mas tem comprimento maior que 1.

Para transformar esse vetor em um vetor unitário, basta dividi-lo pelo seu comprimento:

\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}

Assim:

\hat{\mathbf{v}} = \frac{(1,1,0)}{\sqrt{2}}

ou:

\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)

aproximadamente:

\hat{\mathbf{v}} = (0,7071,\;0,7071,\;0)

A direção continua sendo exatamente a mesma: 45∘. A única coisa que mudou foi o comprimento, que agora sim é igual a 1, e ele projeta ~0,7 em X e ~0,7 em Y.

E é aqui que fica mais interessante: Os valores do vetor unitário são os cossenos de cada ângulo projetado do eixo até o vetor!!! Assim, você pode extrair os ângulos com:

\boxed{\alpha=\arccos(\hat v_x)} \space \boxed{\beta=\arccos(\hat v_y)} \space \boxed{\gamma=\arccos(\hat v_z)}

Faça todo o processo, começando com os valores (1,1,1) e encontrará algo como:

Você vai descobrir que os três ângulos são de ~54,7∘.
Isso é lindo, não é mesmo!? Experimente! Faça os cálculos! Você verá que não é difícil. 😊

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